Dans cet article très court, je vais reposer les bases de ce qu’est le cercle trigonométrique, à quoi il sert et rappeler quelques formules simples et faciles à retenir mais indispensables.
Sommaire
Pour cette leçon de maths, je te propose un bon vieux Don Cab (du math rock 🙂
Allez, j’enfile une casquette de prof de maths (ou d’élève de première), et je demanderai à ma tante qui était vraiment prof de maths de vérifier que je ne dis pas de bêtises 🙂
Pour écrire et comprendre mon article sur le bruit de Perlin, j’ai eu besoin de revoir certaines bases en maths et je me suis aperçu qu’en fait je pense n’avoir jamais eu ce cours de ma vie… Comme je n’ai pas fait un bac S mais ES, je n’ai pas le souvenir d’avoir eu ce cours.
Merci Yvan Monka
Mon article résume très rapidement les très bons cours vidéo de Yvan Monka. Il présente ses cours comme des cours pour des élèves de première S et les prépare aux nombres imaginaires et aux fonctions complexes qu’ils verront en terminale. Comme je n’ai pas eu ces cours non plus, c’est probablement la raison pour laquelle j’étais bien largué en cours de maths en école d’ingénieur.
Le cercle trigonométrique démystifié
Le cercle trigonométrique est un outil précieux pour comprendre les relations entre les angles et les longueurs dans un triangle. En gros, c’est un cercle centré sur l’origine d’un repère cartésien, avec un rayon de 1. Jusque là ça devrait aller.
Les bases pour comprendre le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique, c’est un cercle qui se trouve dans un repère orthonormé (tu sais, avec les axes des abscisses en x et des ordonnées en y, perpendiculaires et de mêmes longueurs).
Le rayon de ce cercle est de 1, et on l’utilise pour étudier les fonctions trigonométriques : cosinus, sinus et tangente. Ces fonctions permettent de décrire les relations entre les angles et les longueurs des côtés d’un triangle. D’ailleurs, l’étymologie de trigonométrie provient des mots grecs « trigonon » qui signifie « triangle » et « metron » qui signifie « mesure ». En somme, la trigonométrie est la science qui s’intéresse à la mesure des triangles.
Les fonctions trigonométriques : cosinus, sinus et tangente
Alors, pourquoi cosinus et sinus ? Ces deux fonctions trigonométriques sont essentielles pour décrire les positions d’un point sur le cercle trigonométrique. Le cosinus d’un angle correspond à l’abscisse du point, tandis que le sinus d’un angle correspond à l’ordonnée du point. Quant à la tangente, elle est le rapport entre le sinus et le cosinus.
Quelques formules
Périmètre P d’un cercle (mieux vaut se rappeler des bases 🙂 tu sais les 2 pierres et pierres carrées) :
P = 2 * π * r
Surface A d’un cercle :
A = π * r²
Coordonnées d’un point P à l’angle θ (theta, exprimé en radians) sur le cercle trigonométrique :
P(θ) = (x, y) = (cos(θ), sin(θ))
Relation radian – degrés :
1 radian = 180° / π
1 degré = π / 180 radians
Quelques valeurs remarquables :
un tour de cercle = 2π radians = 360°
π radians = 180°
π/2 radians = 90°
π/3 radians = 60°
π/4 radians = 45°
π/6 radians = 30°
Tableau récapitulatif
Comme la répétition est un très bon moyen d’apprendre, voici un tableau récapitulatif (uniquement le premier quadrant du cercle trigonométrique)
| Degrés (°) | Radians (rad) | x=cosθ | y=sinθ | P(θ)=(x,y)=(cosθ,sinθ) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | (1, 0) |
| 30° | π/6 | √3/2 | 1/2 | (√3/2, 1/2) |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | (√2/2, √2/2) |
| 60° | π/3 | 1/2 | √3/2 | (1/2, √3/2) |
| 90° | π/2 | 0 | 1 | (0,1) |
Le cercle trigonométrique
Voici le cercle trigonométrique. Il permet un triple lecture :
- sur l’axe horizontal des abscisses : cos, de -1 à 1
- sur l’axe vertical des ordonnées : sin, de -1 à 1
- sur le cercle : qui dépend de l’angle
Le sens trigonométrique est le sens inverse des aiguilles d’une montre. Mais on lit en négatif quand on passe sous l’abscisse et qu’on lit dans le sens des aiguilles d’une montre. Ainsi 7π/6 nous ramène en π/6, on fait un tour (2π) plus π/6. De la même façon, -5π/4 nous ramène en -π/4.
Comment utiliser le cercle trigonométrique dans la vraie vie ?
Après la théorie, passons à la pratique ! Imaginons que tu veuilles calculer la longueur d’un côté d’un triangle dont tu connais un angle et la longueur d’un autre côté. Le cercle trigonométrique à la rescousse ! En utilisant les fonctions trigonométriques (cosinus, sinus ou tangente), tu peux trouver les longueurs manquantes et résoudre ton problème.
Exemple d’utilisation de la tangente
La tangente est une fonction trigonométrique qui permet de calculer l’angle d’un triangle rectangle en fonction des longueurs de ses côtés adjacents et opposés. Par exemple, si on a un triangle rectangle avec un côté adjacent de longueur 3 et un côté opposé de longueur 4, on peut utiliser la fonction tangente pour déterminer l’angle θ entre ces deux côtés :
tan(θ) = côté opposé / côté adjacent
tan(θ) = 4 / 3
θ = arctan(4 / 3) ≈ 0.93 radians ≈ 53.13 degrés
La fonction tangente est souvent utilisée dans des problèmes de géométrie et de mesure, ainsi que pour résoudre des problèmes pratiques impliquant des angles et des distances.
Le cercle trigonométrique et les applications pratiques
Maintenant que tu maîtrises le cercle trigonométrique, tu peux l’appliquer à des situations concrètes. Par exemple, en physique, il est souvent utilisé pour résoudre des problèmes de forces et de mouvement. En informatique, il sert à créer des animations ou des effets visuels, comme dans l’article sur le bruit de Perlin. Bref, le cercle trigonométrique, c’est pas si sorcier !
Expériences avec Midjourney et illustration
J’ai essayé de demander à Midjourney de me faire un cercle trigonométrique, mais je savais que c’était voué à l’échec car il ne sait pas vraiment écrire. On ne voit donc pas les valeurs intéressantes.
Il m’a fait plusieurs beaux cercles mais pas hyper exploitable…
Alors je me suis quand même fendu d’un cercle trigo perso pour bien visualiser les valeurs remarquables (qu’on a vu un peu plus haut).
Pour finir, quelques illustrations Mijourney intéressantes.
J’aime beaucoup le plafond ou le reflet du tableau et les stores californiens.
Ici on dirait presque du Tomás Saraceno, par contre j’ai un peu mal pour son pied droit…
Une belle version hi-tech
Un très beau tableau dans ce bureau de prof de maths, des utopies réalisables ou le plan du campus ?
Et une galerie avec plusieurs autres tests
Et le prompt qui m’a permis de les générer, j’ai rajouté du négatif car il me mettait un peu trop de profs costumés au début, et des Steve Jobs…
photographie réaliste, un prof de maths expliquant le cercle trigonometrique sur tableau futuriste transparent ou dans un metaverse, dans le style de jeff wall, --stylize 1000 --v 5 --no costume suit